جواب کاردرکلاس صفحه 121 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 121 حسابان دوازدهم سلام! این سوالات به ارتباط بین **یکنوایی (صعودی/نزولی)** و **مشتق‌پذیری** می‌پردازد. این دو ویژگی در ریاضیات کاملاً معادل نیستند. 💡 --- ### الف) رابطه صعودی اکید و مشتق‌پذیری **پرسش:** آیا هر تابع صعودی اکید، مشتق‌پذیر هم هست؟ **پاسخ:** **خیر.** ❌ **توضیح:** صعودی اکید بودن (همیشه بالا رفتن) یک ویژگی پیوستگی است، اما لزومی ندارد که نمودار صاف (Smooth) باشد. اگر نمودار شامل **نقطه گوشه (Corner Point)** باشد، تابع صعودی اکید است اما در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست. * **مثال نقض:** $$f(x) = |x|$$ در بازه $[0, +\infty)$ اکیداً صعودی است، اما $f'(0)$ موجود نیست (نقطه گوشه). یا تابع $$f(x) = x + |x|$$ در $x=0$ مشتق‌پذیر نیست، اما در تمام دامنه‌اش صعودی است. --- ### ب) رابطه صعودی اکید، مشتق‌پذیر و علامت مشتق **پرسش:** آیا هر تابع صعودی اکید و مشتق‌پذیر، در هر نقطه مشتق مثبت دارد؟ **پاسخ:** **خیر.** ❌ **توضیح:** این گزاره تقریباً درست است، اما **نقطه عطف افقی (Horizontal Inflection Point)** آن را نقض می‌کند. در این نقاط، مشتق صفر است ($f'(c)=0$)، اما تابع همچنان به صعود خود ادامه می‌دهد (صعودی اکید است). * **مثال نقض:** $$g(x) = x^3$$ * $g(x)$ در $\mathbb{R}$ **صعودی اکید** است. * $g(x)$ در $\mathbb{R}$ **مشتق‌پذیر** است ($g'(x) = 3x^2$). * اما در $athbf{x=0}$، $athbf{g'(0) = 0}$. در اینجا مشتق مثبت نیست، بلکه صفر است. **نتیجه:** برای یک تابع صعودی اکید و مشتق‌پذیر، در تمام نقاط باید $f'(x) \geq 0$ باشد، اما لزومی ندارد که **حتماً $f'(x) > 0$** باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 2 صفحه 121 حسابان دوازدهم این تمرین به تحلیل یکنوایی تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ (یک تابع گویای ساده) با استفاده از مفهوم **مشتق** می‌پردازد. 💡 **تابع:** $$f(x) = \frac{1}{x}$$ **مشتق تابع:** $$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$ --- ### الف) اکیداً نزولی بودن در بازه‌های $(-\infty, 0)$ و $(0, +\infty)$ برای اثبات اکیداً نزولی بودن در یک بازه، باید نشان دهیم که $\mathbf{f'(x) < 0}$ در آن بازه برقرار است. **تحلیل $f'(x)$:** 1. **صورت:** عدد ثابت $-1$ (همیشه منفی). 2. **مخرج:** $x^2$ (همیشه مثبت به ازای $x \neq 0$). $$\text{پس } f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \quad \text{به ازای تمامی } x \in \mathbb{R} - \{0\}$$ 1. **بازه $(-\infty, 0)$:** چون در این بازه $f'(x)$ همواره منفی است، تابع در این بازه **اکیداً نزولی** است. 2. **بازه $(0, +\infty)$:** چون در این بازه نیز $f'(x)$ همواره منفی است، تابع در این بازه **اکیداً نزولی** است. **پاسخ الف:** نشان داده شد که $\mathbf{f'(x) < 0}$ در هر دو بازه، پس تابع در هر بازه **اکیداً نزولی** است. --- ### ب) اکیداً نزولی بودن در تمام دامنه **پرسش:** آیا می‌توان گفت این تابع در تمام دامنه خود (یعنی $\mathbb{R} - \{0\}$) اکیداً نزولی است؟ **پاسخ:** **خیر.** ❌ **دلیل:** برای اکیداً نزولی بودن در تمام دامنه $D$，باید به ازای هر $x_1, x_2 \in D$ که $x_1 < x_2$， داشته باشیم $f(x_1) > f(x_2)$. * **مثال نقض:** یک نقطه از بازه اول ($x_1$) و یک نقطه از بازه دوم ($x_2$) انتخاب می‌کنیم: $$\text{انتخاب: } x_1 = -1 \quad \text{و} \quad x_2 = 1$$ $$\text{داریم: } x_1 < x_2 \quad (\text{یعنی } -1 < 1)$$ $$\text{مقایسه } f(x): \quad f(-1) = \frac{1}{-1} = -1 \quad \text{و} \quad f(1) = \frac{1}{1} = 1$$ $$\text{نتیجه: } f(x_1) < f(x_2) \quad (\text{یعنی } -1 < 1)$$ * **نتیجه:** چون $f(x_1) < f(x_2)$، تابع در کل دامنه $\mathbb{R} - \{0\}$ **نزولی نیست** (بلکه از سمت چپ به راست یک پرش به بالا دارد). **پاسخ ب:** $\mathbf{\text{خیر.}}$ به دلیل **ناپیوستگی** در $x=0$ و پرش تابع از منفی به مثبت ($-1 < 1$ در مثال نقض)، تابع در تمام دامنه‌اش اکیداً نزولی نیست.